Granice

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

                                                            Własności granic:

Granica w nieskończoności:

Granica w punkcie:

Filmy i zadania z granic:

                                                                                                                                                                         

Macierze

Macierz – układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

                                                                Podstawowe działania:

Macierze prostokątne:

  Działania na macierzach:

Definicja algebry liniowej

Algebra liniowa – dział algebry zajmujący się badaniem przestrzeni liniowych oraz ich homomorfizmów, tj. przekształceń liniowych. Algebra liniowa skupia się głównie na badaniu przestrzeni skończenie wymiarowych nad ciałami lub ogólniej,pierścieniami. Do algebry liniowej można zaliczyć także teorię form kwadratowych, macierzy, przekształceń półtora- iwieloliniowych. Dziedzina ta wyrosła w sposób naturalny na gruncie badania układów równań liniowych.

Algebra liniowa ma liczne zastosowania zarówno w matematyce (np. równania różniczkowe, programowanie liniowe), jak i poza nią, np. w ekonomii metody przez nią wypracowane są stosowane do skutecznego modelowania i rozwiązywania problemów związanych z alokacją zasobów.

Zdanie (w sensie logicznym) jest wypowiedzią, o której można stwierdzić (na gruncie pewnej wiedzy, teorii), że jest prawdziwa albo fałszywa, czyli że ma określoną wartość logiczną. Zdania będą tutaj oznaczane symbolami p,q,…

Przy pomocy spójników logicznych:

∼nie∨lub∧ i⇒implikuje⇔  jest równoważne

można ze zdań składowych tworzyć zdania złożone. Najważniejsze zdania złożone to:

negacja: ∼p (nie p;  nieprawda, że p);

alternatywa: p∨q (p  lub  q);

koniunkcja: p∧q (p  i  q);

implikacja: p⇒q (jeśli  p, to  q; z  p  wynika  q;  p  implikuje  q);

równoważność: p⇔q ( p  wtedy i tylko wtedy, gdy  q).

Jeżeli twierdzenie matematyczne jest sformułowane w postaci implikacji  p⇒q,  to używa się następujących określeń:

 p  -  założenie twierdzenia  (warunek wystarczający dla  q) ;    q  -  teza twierdzenia  (warunek konieczny dla  p).

Przy dowodzeniu twierdzeń często stosuje się tautologie logiczne. Są to wyrażenia, które zawsze przechodzą w zdania prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań p i  q,   np.:

(p⇔q)  ⇔  [(p⇒q)∧(q⇒p)]