Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) oraz argument x0 w otoczeniu którego funkcja f(x) jest określona. Wówczas pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 oznaczamy symbolem:
f′(x0)
i definiujemy jako następującą granicę:
f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
Powyższa definicja pochodnej zazwyczaj podawana jest w podręcznikach szkolnych. Na studiach częściej pojawia się następująca definicja:
f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h
Obie definicje są równoważne i w zależności od podręcznika - autor może posługiwać się pierwszą bądź drugą. Najprostszym sposobem na oznaczanie pochodnej funkcji jest symbol f′(x). Czasami można spotkać się z innymi oznaczeniami. Oto najczęściej spotykane:
- df(x)dx (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
- f′(x) (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
- Df(x) (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
W przypadku gdy funkcję zadamy wzorem postaci y=[wzór funkcji], to pochodne oznaczamy w następujący sposób:
- dydx (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
- y′ (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
- Dy (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
Pochodne funkcji można liczyć bezpośrednio z definicji, chociaż znacznie prościej jest korzystać z gotowych wzorów. Nie musimy wtedy liczyć żadnych granic, tylko stosujemy wzory i proste reguły liczenia pochodnych. W tym rozdziale zobaczymy jednak jak można wyznaczać pochodne funkcji bezpośrednio z definicji.
Przykład 1.
Oblicz pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0=2.
Rozwiązanie:
Liczymy wartość pochodnej w punkcie
x0 korzystając z definicji:
f′(2)=limh→0f(2+h)−f(2)h=limh→0(2+h)2−22h=limh→04+4h+h2−4h=limh→04h+h2h=limh→0h(4+h)h=limh→0(4+h)=4
Możemy również policzyć z definicji wzór ogólny pochodnej dla tej funkcji:
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(x+h)2−x2h=limh→0x2+2hx+h2−x2h=limh→02hx+h2h=limh→0h(2x+h)h=limh→0(2x+h)=2x
Czyli ostatecznie:
f′(x)=2x
Można też napisać równoważnie:
(x2)′=2x
Korzystając z tak wyliczonego wzoru możemy teraz obliczyć wartość pochodnej w dowolnym punkcie, np.:
f′(2)=2⋅2=4f′(0)=2⋅0=0f′(−5)=2⋅(−5)=−10
Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.
Przykład 2.
Oblicz pochodną funkcji f(x)=x3−2x.
Rozwiązanie:
Liczymy pochodną korzystając z definicji:
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0((x+h)3−2(x+h))−(x3−2x)h==limh→0x3+3x2h+3xh2+h3−2x−2h−x3+2xh=limh→03x2h+3xh2+h3−2hh==limh→0h(3x2+3xh+h2−2)h=limh→0(3x2+3xh+h2−2)=3x2−2
Zatem:
f′(x)=3x2−2
Można napisać równoważnie:
(x3−2x)′=3x2−2
