Definicja analizy matematycznej/Przestrzenie metryczne

Analiza matematyczna – zespół teorii obejmujący wiele ważnych działów matematyki.

Początkowo analiza matematyczna obejmowała jedynie to, co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku.

Z czasem rachunek różniczkowy i całkowy, ograniczający się wcześniej do kartezjańskich przestrzeni rzeczywistych, objął swoim zakresem inne przestrzenie: przestrzenie zespolone (teoria funkcji holomorficznych), przestrzenie Banacha i Hilberta(wraz z odpowiadającymi im teoriami) oraz bardziej zaawansowane twory geometryczne (na przykład rozmaitości różniczkowalne).

Zaawansowanej analizy matematycznej nie można obecnie uprawiać bez znajomości algebry, topologii (w tym topologii algebraicznej) czy geometrii różniczkowej.

Analiza matematyczna/Całka nieoznaczona

Całką nieoznaczoną funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x) (tzw. funkcję pierwotną), która spełnia równanie:

W myśl powyższej definicji całkowanie funkcji  polega na znalezieniu jej funkcji pierwotnej. Korzystając z alternatywnego zapisu pochodnej funkcji, powyższe równanie przyjmie postać:

Po obustronnym pomnożeniu przez dx:

Po obustronnym całkowaniu powyższą relację możemy zapisać jako:

Można zatem powiedzieć z pewnym przybliżeniem, że operacja całkowania jest operacją odwrotną do różniczkowania. Powyższe przybliżenie wynika z faktu, że o ile różniczkowanie jest operacją jednoznaczną, o tyle całkowanie już nie. Funkcja f(x) ma jedną i tylko jedną pochodną f'(x). Natomiast f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotych F(x). Mówimy zatem, że wyznaczamy całkę nieoznaczoną funkcji f(x) z dokładnością do stałej addytywnej C, co zapisujemy jako:

Analiza matematyczna wykład

Definicja i rodzaje całek

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną, choć istnieje wiele innych odmian całki. Ścisłe definicje można znaleźć w artykułach dotyczących poszczególnych całek.

W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Polskojęzyczny termin został wprowadzony przez Jana Śniadeckiego jako tłumaczenie integral

Całka oznaczona

Intuicyjnie całka oznaczona to pole powierzchni między wykresem funkcji  w pewnym przedziale , a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.

Znane są następujące całki oznaczone:

• całka Riemanna, całka Darboux – najprostsze (równoważne ze sobą) definicje całki oznaczonej (zobacz rysunek obok), jednak nie obejmujące wielu ważnych funkcji. Stąd powstało wiele uogólnień tych całek na szerszą klasę funkcji:
  • całka niewłaściwa (Riemanna) – uogólnienie całki Riemanna na niektóre funkcje określone na przedziałach nieskończonych oraz na niektóre funkcje nieograniczone na przedziałach skończonych bądź nie.
    • całka Riemanna-Stieltjesa – uogólnienie całki niewłaściwej, gdy obszarem całkowania nie jest przedział, lecz zbiór wartości pewnej funkcji.
      • całka Russo-Vallois – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa.
• całka Daniella-Stone'a.
• całka Henstocka-Kurzweila (inne nazwy: całka Denjoy, całka Perrona, całka Denjoy-Perrona).
• całka Lebesgue'a – najczęściej stosowane uogólnienie całki Riemanna. Rozszerza klasę całkowalnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pozwala także na całkowanie funkcji określonych na innych przestrzeniach mierzalnych i w tym sensie wykracza poza tradycyjne rozumienie całki oznaczonej. Całka Lebesgue'a ma własne uogólnienia i szczególne przypadki:
  • całka Lebesgue'a-Stieltjesa – odpowiednik całki Riemanna-Stieltjesa, gdzie funkcja jest całkowana tak jak w całce Lebesgue'a;
  • całka Haara – całka Lebesgue'a dla funkcji mierzalnych względem miary Haara, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskichlokalnie zwartej grupy topologicznej.
• całki w przestrzeniach funkcyjnych:
• całka względem miary wektorowej – całka z funkcji skalarnej względem miary wektorowej.
• całki z funkcji o wartościach wektorowych (np. w przestrzeniach Banacha bądź szerszej klasie przestrzeni):
  • całka Pettisa, całka Gelfanda;
  • całka Dunforda;
  • całka McShane'a;
  • całka Bochnera.
• całka Bartle'a – całka z funkcji o wartościach wektorowych względem miar wektorowych.
  
  Całka nieoznaczona
• Przez całkę nieoznaczoną (albo funkcję pierwotną) rozumie się pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji (zob. podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Całkę oznaczoną na przedziale  można też zdefiniować (tzw. całka Newtona-Leibniza) jako różnicę między wartościami całki nieoznaczonej w punktach  oraz . Stąd obliczenie całki nieoznaczonej jest często pierwszym krokiem przy obliczaniu całek oznaczonych.
• Uogólnieniem całki nieoznaczonej jest całka równania różniczkowego będąca rozwiązaniem równania różniczkowego:

  

  gdzie  jest pierwotną, a  oznacza całkowaną funkcję.
  
  Pozostałe

  • całka krzywoliniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna krzywa.
  • całka powierzchniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna powierzchnia, np. pewne koło, albo połowa sfery. Całka krzywoliniowa i całka powierzchniowa to szczególne przypadki całki na hiperpowierzchni. W nowoczesnej teorii całkowania, traktuje się je jako całki Lebesgue'a względem pewnych niezmienniczych miar, określonych na σ-ciałach związanych z daną hiperpowierzchnią.
  • całka podwójna – potocznie: całka z całki (z parametrem). Analogicznie całka potrójna, i ogólnie wielokrotna. Obecnie, całki -krotne traktuje się jako całki Lebesgue'a względem -wymiarowej miary Lebesgue'a.
  • całka stochastyczna – specjalny rodzaj całki używany w rachunku prawdopodobieństwa. Ma kilka wersji:
    • całka Paleya-Wienera (całka Paleya-Wienera-Zygmunda);
    • całka Itō – najpowszechniej używana całka stochastyczna;
    • całka Stratonowicza – najczęstsza alternatywa dla całki Itō, czasem wygodniejsza.

  Niektóre przypadki całek oznaczonych i nieoznaczonych dla pewnych szczególnych funkcji mają własne nazwy:

  • całki eliptyczne;
  • całka abelowa;
  • całka Duhamela (pochodna splotu funkcji);
  • całka Fresnela;
  • całka Poissona;
  • całka wymiany;
  • całka J.

Całki wykład

Definicja pochodnej funkcji

Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) oraz argument x0 w otoczeniu którego funkcja f(x) jest określona. Wówczas pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 oznaczamy symbolem:

f′(x0)

i definiujemy jako następującą granicę:

f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0

Powyższa definicja pochodnej zazwyczaj podawana jest w podręcznikach szkolnych. Na studiach częściej pojawia się następująca definicja:

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h

Obie definicje są równoważne i w zależności od podręcznika - autor może posługiwać się pierwszą bądź drugą. Najprostszym sposobem na oznaczanie pochodnej funkcji jest symbol f′(x). Czasami można spotkać się z innymi oznaczeniami. Oto najczęściej spotykane:

• df(x)dx (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
• f′(x) (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
• Df(x) (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)

W przypadku gdy funkcję zadamy wzorem postaci y=[wzór funkcji], to pochodne oznaczamy w następujący sposób:

• dydx (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
• y′ (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
• Dy (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)

Pochodne funkcji można liczyć bezpośrednio z definicji, chociaż znacznie prościej jest korzystać z gotowych wzorów. Nie musimy wtedy liczyć żadnych granic, tylko stosujemy wzory i proste reguły liczenia pochodnych. W tym rozdziale zobaczymy jednak jak można wyznaczać pochodne funkcji bezpośrednio z definicji.

Przykład 1.

Oblicz pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0=2.

Rozwiązanie:

Liczymy wartość pochodnej w punkcie x0 korzystając z definicji:

f′(2)=limh→0f(2+h)−f(2)h=limh→0(2+h)2−22h=limh→04+4h+h2−4h=limh→04h+h2h=limh→0h(4+h)h=limh→0(4+h)=4

Możemy również policzyć z definicji wzór ogólny pochodnej dla tej funkcji:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(x+h)2−x2h=limh→0x2+2hx+h2−x2h=limh→02hx+h2h=limh→0h(2x+h)h=limh→0(2x+h)=2x

Czyli ostatecznie:

f′(x)=2x

Można też napisać równoważnie:

(x2)′=2x

Korzystając z tak wyliczonego wzoru możemy teraz obliczyć wartość pochodnej w dowolnym punkcie, np.:

f′(2)=2⋅2=4f′(0)=2⋅0=0f′(−5)=2⋅(−5)=−10

Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.

Przykład 2.

Oblicz pochodną funkcji f(x)=x3−2x.

Rozwiązanie:

Liczymy pochodną korzystając z definicji:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0((x+h)3−2(x+h))−(x3−2x)h==limh→0x3+3x2h+3xh2+h3−2x−2h−x3+2xh=limh→03x2h+3xh2+h3−2hh==limh→0h(3x2+3xh+h2−2)h=limh→0(3x2+3xh+h2−2)=3x2−2

Zatem:

f′(x)=3x2−2

Można napisać równoważnie:

(x3−2x)′=3x2−2